YInsenséTAngle,1QUanyingWU,1,* XIaoyiCPOULE2 ETHAOZACCROCHER1,2
1Jiangsu Key Laboratory of Micro and Nano Heat Fluid Flow Technology and Energy Application, School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou, Jiangsu, 215009, Chine
2Graduate Practice Station à Soochow Mason Optics Co., Ltd., Suzhou, Jiangsu 215028, Chine
* wqycyh@mail.usts.edu.cn
Abstrait: Nous proposons une méthode numérique pour la conception d'une lentille d'addition progressive (PAL) qui peut répondre aux besoins plus personnels par rapport à l'utilisation de la solution analytique de l'équation de Laplace. Dans notre méthode, la fonction auxiliaireu(x, y) d'un PAL est obtenu par la solution numérique de l'équation de Laplace avec les conditions de limite et de liaison. La condition aux limites est obtenue en utilisant l'algorithme génétique avec l'entrée de l'exigence individuelle. La condition de liaison est déterminée à l'aide de la méthode de différence finie avec un plus fluideu(x, y) sur le méridien. Deux exemples sont donnés en plein air et
Utilisation du bureau. Dans les deux cas, la zone d'astigmatisme est poussée vers une petite zone près du bord de l'objectif.
© 2017 Optical Society of America
Codes OCIS:(220.0220) Conception et fabrication optiques; (080.0080) Optique géométrique.
Références et liens
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1. Présentation
Une lentille d'addition progressive (PAL) fournit une vision claire transparente à différentes distances de vision. Il existe deux principales catégories de méthodes pour concevoir des copains. On appartient à la méthode directe. Par exemple, Winthropet al.. [1] ont décrit un système dans lequel les concepteurs ont spécifié le pouvoir focal le long du méridien ombilical. La forme du reste de l'objectif et des courbures de la surface progressive sont déterminées par la fonction auxiliaireu(x, y). Les contours de la fonction auxiliaire surx-y Le plan est appelé courbes de niveau. Le
La fonction auxiliaire a été obtenue en résolvant analytiquement l'équation de Laplace. Steeleet al. [2] ont spécifié le pouvoir focal sur toute la surface en utilisant des coniques (comme fonction auxiliaire) et ont obtenu la forme de surface du PAL en résolvant une équation différentielle partielle elliptique. L'autre moyen est de déterminer indirectement la surface PAL. Par exemple, détacheret al.. [3] , Wang
[4], Wei [5] a conçu une fonction d'évaluation qui tente d'atteindre un équilibre entre la distribution souhaitée du pouvoir focal et l'astigmatisme indésirable. La surface PAL a été obtenue en minimisant numériquement la fonction d'évaluation. Dans les méthodes directes, les conceptions de la puissance focale méridienne et les courbes de niveau sont deux points clés. Récemment, la technique sur la recherche de la distribution de puissance focale optimisée sur la ligne méridienne a été décrite [6,7]. Tricotet al.. et Steeleet al.. a présenté les expressions analytiques pour les courbes de niveau [1,2]. Toutes ces méthodes n'ont que deux ou trois paramètres pour ajuster les courbes de niveau. Par conséquent, leur capacité à répondre aux besoins personnels de correction de la vision est limitée.
Nous proposons une méthode qui peut répondre aux besoins plus personnels par rapport aux méthodes mentionnées ci-dessus. Dans notre approche, les courbes de niveau sont obtenues en résolvant numériquement l'équation de Laplace avec les conditions de limite et de liaison qui dépendent de la situation individuelle. Il existe une relation complexe entre la condition aux limites de l'équation de Laplace et de l'astigmatisme. La condition aux limites est obtenue en utilisant l'algorithme génétique avec l'entrée de l'exigence personnalisée. Pour minimiser l'astigmatisme sur la ligne méridienne, nous proposons une condition de liaison plus lisse en utilisant le principe de variation et la méthode de différence finie. La méthode offre une flexibilité et une efficacité pour la détermination d'une lentille individualisée.
2.Cesign des courbes de niveau pour une lentille d'addition progressive
La surface d'un PAL est divisée en quatre régions (Fig. 1). La zone de distance 1 dans la partie supérieure de la lentille a une puissance focale relativement faible. La zone proche 2 est 10-18 mm sous la zone de distance et a une puissance focale relativement élevée. Le couloir progressif 3 relie la distance et les zones proches. Les zones d'astigmatisme 4 sont à gauche et à droite du couloir progressif avec un astigmatisme relativement grave. La différence de pouvoir focal entre le point de référence A dans la zone de distance et le point de référence B dans la zone proche est considérée comme une puissance d'addition (ADD) du PAL. La zone de distance, la zone proche et le couloir progressif sont appelés régions de vision efficaces. Les zones d'astigmatisme ne peuvent pas être utilisées pour corriger la vision d'un porteur.
Fig. 1. Quatre régions d'un copain.
L'origine o est le centre de l'objectif etx-y Le plan est tangent à l'objectif. L'axe X pointe vers le bas dans le sens d'augmenter le pouvoir focal. Lez-Axis souligne le journal vers le lecteur. La ligne méridienne relie les points A et B. La distance entre les points A et B est la longueur du couloir progressif.
La méthode de conception directe est divisée en plusieurs étapes. La première étape consiste à concevoir la puissance focale méridienne (le long de la ligne méridienne) et la fonction auxiliaireu(x, y). La seconde
L'étape consiste à déterminer la courbure et les centres de courbure à chaque point de la surface PAL. La dernière étape consiste à obtenir la hauteur vectoriellez(x, y) .
La distribution de puissance focale doit être lisse sur la surface de l'objectif, donc la fonction auxiliaireu(x, y) doit se distribuer en douceur. Un critère de douceur nécessite que la somme quadratique des dérivés partiels ¶u / ¶x et ¶u / ¶y être un minimum, c'est-à-dire le
Dirichlet Integral est minimum. Selon le principe de variation Euler-Lagrange, la fonction auxiliaireu(x, y) satisfait l'équation de Laplace
Nous proposons de résoudre l'équation. (1) Utilisation de la technique numérique. La condition aux limites de l'équation de Laplace est optimisée à l'aide de l'algorithme génétique tandis que la condition de liaison est obtenue en utilisant la méthode de différence finie.
2.1 La condition aux limites de l'équation de Laplace
Le point de contrôleuk représente l'un des points de grille sur la limite du domaine de calcul ω et est défini comme
Icih est lié à la longueur du couloir progressif,L est la distance du point A au point d'origine O, etpk est le paramètre de contrôle de l'algorithme génétique variant de 0 à 1.K est le nombre de «chromosomes» dans l'algorithme génétique. La séquence de tous les «chromosomes»h - L .
pk constitue un vecteur comme un «individu». La valeur deuk varie de -L à
La fonction objectiff de l'algorithme génétique répond aux mérites du vecteur [7]
Ici, F1 est l'astigmatisme maximal du PAL. L'astigmatisme maximal doit répondre à l'exigence f * =r P - P , oùP etP sont les pouvoirs focaux aux points A et B, 1A B A B etr est le facteur de pondération de la puissance supplémentaire. Fi ( i = 2, 3l6) sont les valeurs moyennes de l'astigmatisme dans la zone de distance, près de la zone et du couloir progressif et deuxzones d'astigmatisme respectivement. Fi ( i = 7, 8, 9) sont les valeurs de puissance moyennes dans la zone de distance, la zone proche et le couloir progressif respectivement. F * sont les valeurs objectives correspondantes. Fi Changement dans la boucle de l'algorithme génétique pour rechercher la limite optimiséeconditions.a1 ,...,a6 sont les facteurs de pondération des zones correspondantes de l'astigmatisme.a7 ,a8 eta9 sont les facteurs de pondération des zones correspondantes de la différence de pouvoir focal.r ( 0.75 £ r £ 1) etai ( 0.1 £ ai £ 2) sont des valeurs relatives et déterminées par les préférences des porteurs. Pour les activités de plein air, une grande distance est nécessaire, donc le facteur de pondérationa2 devrait être plus grand quea3 et 3 Pour les activités du bureau, une zone de distance plus petite et un plus grandprès de la zone sont recherchées, donc le facteur de pondérationa3 doit être plus grand quea2 En tout cas, nous voulons que l'astigmatisme possible le moins possible, mais l'effort est limité par d'autres demandes telles que les dimensions de la distance claire et des régions proches. En fait, c'est un compromis parmi la zone de distance, la zone proche et l'astigmatisme.
2.2 L'état de liaison de l'équation de Laplace
Dans l'art précédent [1], la fonction auxiliaireu(x, y) sur la ligne méridienne entre les points A et B est la suivante
Afin de réduire l'astigmatisme du PAL, nous essayons de maintenir la puissance focale stable
Au-delà du point A et du point B sur la ligne méridienne. La fonctionu(x, 0) devrait changer plus
doucement. Aux points A et B,u(x, 0) est égal àx, les pentes doivent être égales à zéro,u(x, 0) devrait avoir un ordre plus élevéN des premiers dérivés différentiels non vivoureux. Sur la ligne méridienne entre les points A et B, les valeurs absolues des dérivés différentiels sont
minimum lorsque la commande est inférieure àN ou égal àN .
Nous minimisons la sommation du carré des dérivés avec l'ordre de 1 à n
L'expression analytique deu(x, 0) pour le minimum de l'équation. (5) satisfait l'équation d'Euler-Poisson [8]
De l'équation. (7) et Eq. (8),Ci ( i = 1, 2,..., 2N ) en Eq. (10) sont obtenus. Puis la fonction auxiliaireu(x, 0) sur la ligne Meridian est obtenu.
Plus loin,ui, j sur deux côtés de la ligne méridienne avec une largeurd est déterminé par le schéma de différence finie [9]. Nous utilisons une grille carrée (xi , y j ) pour calculer numériquementui, j .
Donnéui, j = u(xi , y j ), la formule de différence finie centrée est utilisée pour le deuxième dérivé
Ici äy est la taille de pas. En supposant l'axe symétrique deu(x, y) est égal àui, j -1. Réorganiser l'équation. (11), nous obtenons la ligne méridienne,ui, j +1
(12) basé sur l'équation de Laplace et ajouter un facteur d'optimisationau , nous obtenonsu = u - 1 a Äy i, j ±1 i, j 2 u
(13)è øi, j Alors les valeurs deui, j ± n n = 1, 2, 3 ... sont analogisés à leur tour. Les valeurs deu(x, y) Entre les limites gauche et droite du couloir progressif, sont obtenus. La largeur du couloir progressif et les facteurs d'optimisationau changer en fonction des différents besoins personnels.
Solution numérique de l'équation de LaplaceL'équation de Laplace avec les conditions de limite et de liaison obtenues ci-dessus peut être écrite comme ¶y2 0, (x, y)
u(x , y ) = f (x , y ) (x , y ) Î B
(14)
ïîu(xL , yL ) = j(xL , yL ), (xL , yL ) Î DL
Ici, le domaine ω est une région carrée tangente au PAL,BG la frontière,DL la zone de condition de liaison, condition
f(xG , yG) la condition aux limites optimisée, etj(xL , yL )
Le lien L'équation de Laplace est transformée en un ensemble d'équations de différence par le schéma de différence finie.
1 £ i £ m -1;1 £ j £ m -1
iG = 0,m, 0 £ jG £ m
íui, j = f(iG g, jG g), j
= 0,m
0 £ j £ m
(15) Icig = Äx = Äy est l'étape et la longueur latérale du carré ω estmgavecm un entier.
Eqs linéaires. (15) sont résolus par l'approche successive de la relaxation de la couverture (SOR) [10]. La technique SOR utilise une série répétitive de balayages sur le maillage pour converger sur une solution. Le taux de convergence dépend de la valeur du facteur de relaxation (ORF), et une valeur préférée de l'ORF est déterminée expérimentalement. Un avantage important de la technique SOR est qu'il atteint la convergence dans un temps proportionnel à la racine carrée du nombre de points de maillage. Cette fonctionnalité implique qu'au coût modeste en temps de calcul, une densité de maillage suffisante peut être implémentée pour que SOR converge vers la solution.
3. Exemples et discussion
Nous appliquons la méthode proposée à deux exemples pour démontrer comment une distribution spécifique du pouvoir focal et de l'astigmatisme d'un PAL est obtenue par les conditions de limite et de liaison correspondantes. Dans le premier exemple, le porteur utilise le PAL pour les activités de plein air. Par conséquent, une grande distance est nécessaire. Selon la prescription, le PAL a une puissance focale de dioptrie {0}}. 00 dans la zone de distance et un + 2. 00 Diopter Addition Power. L'indice de réfraction du matériau de l'objectif est de 1,523. La surface avant du PAL est une surface sphérique avec + 2. 00 Diopter Power. La surface arrière est une surface d'addition progressive avec -4. 00 Diopter Power dans la zone de distance et -2. 00 Dioptère de dioptère dans la zone proche. Les valeurs deh etL sont respectivement 34 et 17.
Pour comparer les performances de la méthode proposée avec les méthodes analytiques précédentes, une surface progressive est calculée par la méthode Winthrop. La solution de l'équation de Laplace est une expression analytique avec des paramètresh , L , x ety . Les courbes de niveau sont
montré sur la figure 2.
Fig. 2. Les courbes de niveau obtenues en résolvant analytiquement l'équation de Laplace.
La hauteur vectoriellez(x, y) est obtenu par une série d'équations. Basé sur l'élémentaire
La géométrie différentielle, le pouvoir focal et l'astigmatisme de la surface progressive sont calculés. Les contours d'entre eux sont représentés sur la figure 3. La longueur du couloir progressif est d'environ 16 mm. La largeur de la zone de vision claire (astigmatisme<0.5 diopter) in the distance area at x = -10 mm est d'environ 26 mm, ce qui n'est pas assez large pour la vision extérieure.
Fig. 3. Le pouvoir focal (A) et l'astigmatisme (b) de la surface progressive par la méthode Winthrop.
Pour obtenir une zone de distance plus large, le facteur de pondérationai de la fonction objective pour déterminer les conditions aux limites de l'équation de Laplace est sélectionnée comme indiqué dans le tableau 1. Les conditions aux limites obtenues avec l'algorithme génétique sont représentées sur la figure 4 et la figure 5.
Fig. 4. Conditions aux limites des côtés gauche et droit.
Fig. 5. Conditions limites de la distance et des zones proches.
En résolvant l'équation de Laplace numériquement avec les conditions de limite et de liaison, l'optimisationu(x, y) est obtenu. Les contours de l'optimisation
u(x, y) sont représentés sur la figure 6.
Comparez avec la figure 2, la zone est plus large dans laquelle la valeur deu(x, y) C'est plus petit que -14.
Fig. 6. Lignes de contour optimiséesu(x, y) dans le premier exemple.
Une foisu(x, y) est obtenu,z(x, y) peut être dérivé en utilisant les étapes de conception ci-dessus. Les contours de la puissance focale et de l'astigmatisme sont représentés sur la figure 7. Les performances optiques de la surface progressive sont données dans le tableau 3. On peut voir que la zone de distance (puissance focale<-3.75 diopter) in Fig. 7 (a) is greatly improved than that in Fig. 3 (a). The width of the clear vision area (astigmatism<0.5 diopter) in distance area at x = -10 mm est d'environ 46 mm, ce qui convient plus à la vision en plein air.
Fig. 7. Le pouvoir focal (a) et l'astigmatisme (b) de la surface progressive dans le premier exemple.
Le copain du premier exemple a été fabriqué avec une gravure CNC et une machine à polir. Les propriétés optiques sont mesurées avec un vérificateur de forme libre Rotlex (FFV) pour fournir une puissance focale et l'astigmatisme (ou appelé cylindre) du PAL. Les contours de la puissance focale testée et de l'astigmatisme sont représentés sur la figure 8. Les performances optiques du PAL sont présentées dans le tableau 3. Il est inférieur à 0. 0} 2 Dioptre que la différence de la puissance d'addition entre la surface progressive et le PAL fabriqué. L'écart de l'astigmatisme maximal est inférieur à 0,02 dioptère. En raison de l'influence de la courbure de la surface avant, la largeur est réduite de 12 mm et 2 mm dans la zone de distance (astigmatisme<0.5 diopter, x = -10 mm) et près de la zone (astigmatisme<0.5 diopter, x = 18 mm) du PAL fabriqué que ceux de la surface progressive.
Fig. 8. Le pouvoir focal (a) et l'astigmatisme (b) du PAL testé par FFV.
Dans le deuxième exemple, les paramètres de base sont les mêmes que ceux du premier. Le PAL est utilisé au bureau. Par conséquent, une zone proche et plus large et un couloir plus large sont nécessaires. La largeurd est défini à 9 mm au lieu de 6 mm comme dans le premier exemple. Les facteurs de pondération basés sur la nécessité d'une vision proche sont présentés dans le tableau 2. Les conditions aux limites obtenues avec l'algorithme génétique sont représentés sur les figures 9 etu(x, y) sont représentés sur la figure 11.
Fig. 9. Conditions aux limites des côtés gauche et droit.
Fig. 10. Conditions limites de la distance et des zones proches.
Fig. 11. Lignes de contour optimiséesu(x, y) dans le deuxième exemple.
La figure 12 montre les contours du pouvoir focal et de l'astigmatisme du deuxième exemple. Le tableau 3 est la comparaison des performances optiques entre le premier exemple et le deuxième exemple. La largeur de la zone de distance du premier exemple est de 24 mm plus large que celle du deuxième exemple àx = -10 mm. La largeur de la zone proche du deuxième exemple est de 8 mm plus large que celle du premier exemple àx = 18 mm. L'astigmatisme maximal du deuxième exemple est plus petit que celui du premier exemple, et la largeur du couloir est plus large.
Fig. 12. Le pouvoir focal (a) et l'astigmatisme (b) de la surface progressive dans le deuxième exemple.
Le tableau 1 et le tableau 2 sont les facteurs de pondération basés sur les différents besoins du porteur. Les paramètres der etai de la fonction objectif est déterminé par les besoins et la préférence du porteur. Le facteur de pondération de l'astigmatismea2 est sélectionné une valeur plus grande pour les activités de plein air. Valeurs plus importantes des facteurs de pondérationa3 , a4 , a5 eta6 sont sélectionnés pour une utilisation au bureau.
4.Couplisation
Dans cette étude, nous avons développé une nouvelle approche de conception qui a plus de contrôle sur la fonction auxiliaire et répond donc à une correction de vision plus individualisée. Pour atteindre l'objectif, nous résolvons l'équation de Laplace numériquement. Les conditions de limite et de liaison sont définies pour satisfaire aux exigences spécifiques. En conséquence, un besoin spécifique des dimensions et des pouvoirs focaux de la distance et des régions proches peut être satisfait dans la conception PAL dans une plus grande mesure. Les tailles et les distributions des zones d'astigmatisme sont également améliorées avec notre approche. Les exemples démontrent la capacité de notre approche.
Financement
Fondation nationale des sciences naturelles de Chine (NSFC) (61378056); Fondation des sciences naturelles des établissements d'enseignement supérieur de la province du Jiangsu (Chine) (17KJA140001); le programme PAPD de la province du Jiangsu; Les disciplines clés du Jiangsu de treize plan quinquennal (20168765); Laboratoire de clés Suzhou pour les matériaux et dispositifs optoélectroniques de faible dimension (SYG201611); Plan d'innovation de la technologie de l'industrie de Suzhou (SYG201646); Le Centre d'innovation USTS.
Remerciements
Les auteurs sont également reconnaissants au professeur Qian Lin de l'Université Soochow pour ses précieux conseils et au Dr Cao Zongjian de l'Université Augusta aux États-Unis pour des suggestions éditoriales.